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51年被发现9次,陶哲轩证明的公式成了重复造轮子?事情并没有这么简单

2019-11-18 14:06:07 来源:和讯网 阅读量:4.89万

晓查 栗子 发自 凹非寺

量子位 报导 | 公众号 QbitAI

在科学探索的进程中,“重复造轮子”历来就不新鲜。

最知名如牛顿和莱布尼茨,各自独立发明了微积分;而计算机领域,也有图灵和邱奇前后提出通用计算机理论。

就在近期,天才数学家陶哲轩也经历了类似事件。

今年8月,3位物理学家与陶哲轩共同在Arxiv上发表了1篇研究成果,从1个矩阵和子矩阵的特点值求出特点向量。

他们以为自己的研究是首创,却被学界同行发觉到,早在2014年,论文里的公式就已被另外一位荷兰学者发现,而这个公式的雏形最早可以追溯到1968年。

51年被发现9次,陶哲轩证明的公式成了重复造轮子?事情并没有这么简单

经过网友的提示,陶哲轩在个人博客评论区承认:这篇5年前的论文和自己参与的新论文,描写的规律是1样的。

陶哲轩表示,推导出上面的公式其实不难,但是由于每一个人使用的符号不同,加上搜索数学公式的困难,遗憾之前没能发现前人的研究。

除陶哲轩之外,3位物理学家之1的张西宁也在个人社交平台作出说明。

51年被发现9次,陶哲轩证明的公式成了重复造轮子?事情并没有这么简单

△来源:微博@中科大胡不归

他提到论文发表时没有关注到前人的成果,现在已给论文添加了关于早前工作的说明和参考文献,并修改了“首创性”部份的措辞。

讲到这里,量子位需要做1个说明。我们最初是从Quanta Magazine的推文而关注此事,然后继续研究了相干的预印版论文和相干博客,并在14日中午完成中文报导。由于刊发时间安排,这1报导15日中午发出。

在此进程中,我们没有注意到14日晚间Quanta Magazine在报导最后附上了更新、陶哲轩在博客评论中也谈及此事。这也致使我们在15日发布文章时,没有传递出这1信息,在此对各方和读者表示歉意。

至此,事件算是有了阶段性发展结果,实际是陶哲轩与另外3位物理学家重新发现了该定理,并且由于陶神名望,让“老”公式焕发了“新”活力——使得该公式得到了史无前例的关注和讨论。

由于陶神加持,热议史无前例

事件的起因,源自3位物理学家在研究中微子振荡时发现,只需要用矩阵和子矩阵的特点值,就能够求出特点向量中,各个份量的平方。

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他们把这个在3×3矩阵中得到的特殊结果,发给天才数学家陶哲轩。

陶哲轩在收到物理学家们邮件发来的成果以后,被这个简单整齐的公式震动了,还给出了3个证明。后来就有了那篇4人联合发表的论文。

交叉领域的新发现,又有陶神加持,1石激起千层浪。

成果发表后,前后在英文和中文网络社区引发了热议。

最早是1位来自莱斯大学的女博士生Manjari Narayan指出,陶哲轩发现的这个公式早在2014年就已在被1位荷兰学者Van Mieghem提出过。

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而且Van Mieghem不是唯1的发现者,该公式在历史上被屡次独立重复发现和命名过。

因而也为围观者指出“并不是新发现”埋下伏笔,进1步有了上文所述的陶神回复。

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但陶神也坦承,自己之前历来没有看到过这项研究:

据我所知,这个预印本没有正式发表过。而且作者特别声明过,这个结论前人也发现过几次,但都没有传播到更广泛的受众里去。

陶神还在个人博客中详细列出了9个曾发现过此公式的文献。

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陶神也进1步总结经验、给出建设性呼吁:

看上去,这个规律1直没有遭到大范围的关注。我也希望数学能有1种更好的语义搜索引擎,不然除发布自己的论文,等他人去发现和从前的研究有什么联系,也没有别的办法。

所以因而可知,1个数学规律能够横跨50年,不停地被科学家们当作新的发现写成论文,如今终究被全球知晓,进程中的曲折离奇,确切也值得单独讨论。

在这当中,每次独立发现——也包括3位物理学家与陶哲轩发表的成果,既是科学家不断寻求认知世界的结果,但也有学术交换时空地域局限带来的“重复造轮子”的无奈。

固然,这次的发现其实也不是完全“重复造轮子”。

Hacker News论坛讨论中,还有人提到,新研究与2014年那项研究实际有差别:

2014年的研究和陶的方法差不多,但在面对实数的时候,那项研究并没有把这类联系,推行成特点向量和特点值之间的完全相干性 (Full Correlation) 。

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陶神等人的发现,让这个沉睡多年的公式得以再次重见天日,也引发了学界对该公式更深层次的探讨。

讨论还在更进1步

3位物理学家与陶哲轩将论文公布在Arxiv上,并且命名为Eigenvectors from eigenvalues,意为从特点值取得特点向量。这也引发了不小的争议。

标题只有3个单词,仿佛论文中的规律更具1般性,但是这类描写准确吗?1位读者向陶哲轩提出了疑问。

他认为,该公式其实不能给出特点向量各个份量的确切值,只能求出范数的平方,我们依然不能知道份量的正负号。

那末,直接说从特点值求出特点向量,是不是有夸大的嫌疑?

对此,陶哲轩表示,标题确切是1个过分的简化(oversimplification)。

但是这类表述比“特点值与特点向量系数范数的平方”更简洁地转达了结果的本质。陶在论文摘要里对这个公式的意义做了更加准确的论述:

我们将特点向量元素范数的平方与特点值和子矩阵特点值联系起来。

另外,论文中的公式其实不是针对所有情势的矩阵,而只是对厄米矩阵(Hermitian Matrix)才成立,也让1些读者对公式的普适性表示怀疑。

什么是厄米矩阵?第i行第j列的元素与第j行第i列的元素互为共轭复数(实数部份相同,虚数部份相反)。例如:

51年被发现9次,陶哲轩证明的公式成了重复造轮子?事情并没有这么简单

厄米矩阵的1个重要性质是它的特点值一定是实数。在量子力学中,矩阵的特点值常常会对应着某个真实的物理量:能量、粒子数等等。

物理学用到厄米矩阵的情况更多,在本来研究中微子振荡的论文里,3位物理学家用到的就是1个3×3的厄米矩阵,并且从这个特殊的情况推测出更普遍的结论。

51年被发现9次,陶哲轩证明的公式成了重复造轮子?事情并没有这么简单

跳出物理学,非厄米矩阵的情形更加常见,如果公式不能用在其他情形中,其实用性也会大打折扣。

对是不是可以把全篇论文推行到更1般的情形,有人给出了1种猜想的结果:

将方程中vi,j范数的平方改成:第i个特点向量的第j个份量,与矩阵A的厄米伴随矩阵的特点向量的第j个份量的共轭乘积。

陶哲轩给出了正面的回答:在他的第3种方法,也就是用克莱默法则的证明方法中,应当可以将公式扩大到非厄米矩阵的情形。

即使是只能用于厄米矩阵,那末陶的方法对对计算机求解特点向量是不是仍有实际意义?

已有读者用NumPy实现了陶哲轩的公式,并且用该方法将计算结果精确到小数点后6位。希望未来这类方法可以用在计算机的矩阵运算中。

接下来如何去验证特点向量各个份量的符号,则是另外一个需要解决的问题。

陶哲轩表示,该公式在数值计算中的意义有限,这类方法先计算出向量份量的模,再计算出符号,会将计算本钱增加大约2倍。

另外,还有更多的讨论者思考如何进1步利用。

比如浪潮AIHPC物理学博士Jerry就评论:

陶哲轩和物理学家的新数学公式没有唯1解,利用范围有限。

昨天就看到了,其实核心思想就是遍例,需要原厄米矩阵的信息,简单试试是没问题的,条件必须知道原厄米矩阵,否则没意义,对很多物理问题可能没法得到全原厄米矩阵。

在1定程度上对特定物理问题可下降计算强度,不过计算访存比会下降,内存带宽会进1步密集,是不是有普遍实用价值不好说,感觉这个就是个数学遍例,没特别颠覆性的影响,而且原文也只是说物理问题,其他领域能不能扩大真不好说。

从昨天推导看,它不能唯1算出本征矢,缘由是缺相位,所以利用范围有限,只是1种思路而已。

多说几句,这个方法的本质其实就是使用原厄米矩阵的本征值和子矩阵的本征值共同作用来计算出原厄米矩阵的可能的本征向量,因此它其实还是需要原厄米矩阵的信息在里边的。如果需要计算全部的本征矢,就需要所有的子矩阵,计算量减小1部份,固然也没有少很多。

由于厄米矩阵的类似变换都是可能的本征矢,而这类方法计算缺少相位信息在里面,所以所说算出的本征矢其实不唯1。目前所能利用的范围领域是有限的,原文只是给出了中微子领域的1个利用,其他领域能否利用其实不好说。

还有其他研究者认为:在机器学习里,感觉可以用来处理缺失feature,假定原矩阵本征值已根据大量数据算出,在新场景下,即便某些样本/feature缺失,也能够粗略算出本征矢,紧缩和分类可以更准确。

总之,虽然“新发现”出现反转,但也在传播中构成更大的讨论和思考,功不唐捐。

而且3位物理学家和数学家陶哲轩的跨学科协作、在被质疑后的严谨求实态度和虚怀若谷风范,也让更多围观者承受了1次学术精神洗礼。

事件产生的影响,已不局限于数学物理研究本身。

搜索公式,任重道远;开放交换,非常必要

固然也有另外一维度的启示。

有网友就感慨说,即使像陶哲轩这样的世界最顶尖数学家,也可能对某些数学知识存在遗漏可能。

这1方面是学科知识不断大爆炸的结果,开放性学术交换显得越发有必要性。

另外一方面,基础学科——如数学公式搜索、查重等工具也越发迫切。

在3位物理学家与陶哲轩引爆这1公式之前,“它”已在1968年以来被发现了N次,但这几位学者却对此难以知晓。

那末有无更好的方法,可以搜索数学公式、给公式查重?

目前还没有。

虽然现在的语言类AI已能写出接近人类的小说,但对数学公式的理解还停留在小学生阶段。

今年年初,DeepMind给AI学习了200万道题,结果AI在做4则运算时的正确率只有50%。所以就更没必要说让AI去理解和搜索更高阶的线性代数的公式了。

所以即使在经历重大技术跃迁,但在认知世界、探索未知的路上,我们还有很多工作要做、很多挑战要解。

而且还有很多基础性工作,需要顶尖科学家的绝世大脑——即使顶尖AI也需要他们。

有网友在完全经历这1次“反转”后表示,也感遭到陶哲轩等科学家身上求实严谨、闻过则喜的精神,更加尊重。

One more thing:陶哲轩往事

最后,也有很多年轻1代学生好奇:陶哲轩是谁?

这里有1则陶神轶事,也许能为这位天才数学家1个小小小小的注释。

先从这样1个问题说起:

想象你被困在1个房间里,1同被困的还有1头饥饿的狮子。你和狮子都是房间里的点。

假定狮子可以跑得比你快,你也能够跑得比狮子快,且你和狮子可以用一样的速度奔跑。

如何才能避免被吃掉?

51年被发现9次,陶哲轩证明的公式成了重复造轮子?事情并没有这么简单

这样的问题,在数学和计算机科学领域,叫做追逃博弈 (Pursuit Games) 。

在1984年、陶哲轩还只是9岁的时候,普林斯顿大学教授、菲尔茨奖得主查尔斯 · 费夫曼 (Charles Fefferman) 就问过他这个问题。

那段时间,陶哲轩的父亲陶象国,带着他去造访世界各地的伟大科学家,想要确认儿子究竟是不是有天分。

而与费夫曼教授1同在场的,还有另外一位菲尔茨奖得主——恩里科 · 邦别里 (Enrico Bombieri) 教授。

当时为了更好地描写问题,邦别里教授乃至突然站起来,学着狮子吼,然后追着陶哲轩满屋子跑。在这样氛围里,9岁的陶哲轩机灵地给出了答案。

51年被发现9次,陶哲轩证明的公式成了重复造轮子?事情并没有这么简单

时隔多年后,费夫曼教授如今已不记得9岁男孩给的答案具体细节。

但他仍然记得那时的震动感,由于陶哲轩答出了1个任何课堂里都不会被问到的问题。

尔后,陶哲轩在10岁、11岁、12岁前后参加国际数学奥林匹克比赛,分获铜牌、银牌、金牌,分别是金银铜牌最年轻得主的记录保持者。

16岁获学士学位,17岁取得硕士学位,21岁取得普林斯顿大学博士学位。

24岁,陶哲轩成为加利福尼亚大学洛杉矶分校(UCLA)毕生教授。

31岁,陶哲轩斩获“数学诺贝尔”之称的菲尔茨奖。

现在,1975年生的陶哲轩也才44岁,是全球最知名的华人数学家之1。

传送门

陶哲轩博客:

https://terrytao.wordpress.com/2019/08/13/eigenvectors-from-eigenvalues/

陶哲轩和3位物理学家论文地址:

https://arxiv.org/abs/1908.03795

https://arxiv.org/abs/1907.02534

2014年荷兰学者Van Mieghem的论文:

https://arxiv.org/abs/1401.4580

外媒源报导:

https://www.quantamagazine.org/neutrinos-lead-to-unexpected-discovery-in-basic-math⑵0191113/

量子位报导:

3个弄物理的颠覆了数学常识,数学天才陶哲轩:我开始压根不相信

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